واریته های قاطع بالاتر غوطه وری سگره فضاهای تصویری

مساله تعیین بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های تصویری بیش از یک سده است که شمار زیادی از هندسه جبری دانان را به خود مشغول داشته است. همانا تحقیقات اولیه اغلب بر روی واریته خطوط قاطع تمرکز یافته بود، چراکه این مساله عمیقا با مساله تصویر کردن واریته در یک فضای تصویری در هم تنیده شده است. واریته هایی که دست کم یک واریته قاطع بالاتر آنها فاقد بعد منتظره باشد واریته های ناقص خوانده می شوند و اشیاء هندسی بخصوصی هستند که شناسایی آنها از موضوعات مورد اشتیاق در هندسه جبری است. در حالت واریته های سگره علاقه زایدالوصفی بدین مساله و مساله یافتن کوچکترین عدد s که در ازای آن s-امین واریته قاطع واریته سگره مفروض فضای احاطه کننده را پر کند وجود دارد. جالب آنکه علاقه به این مسائل تنها در میان هندسه جبری دانان نیست بلکه خواستگاههای متعددی در شاخه های مختلف ریاضیات، فیزیک، زیست شناسی و مهندسی دارد. هدفی که این پایان نامه دنبال می کند در راستای تعیین بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگره p^{n_1}*...*p^{n_t} و رده بندی واریته های سگره ناقص است. تلاش بر این شده تا خواننده در جریان تحقیقات و نتایج هیجان انگیز به دست آمده دهه اخیر پیرامون این مساله قرار گیرد. این پایان نامه در هشت فصل تنظیم شده است: در فصل 1، به بیان نتایجی پیرامون اسکیمهای صفر بعدی، تابع هیلبرت آنها و چندین لم کمکی که در مواجهه با مساله "postulation" این اسکیمها مفید واقع می شوند خواهیم پرداخت. در فصل 2، روش دستگاههای معکوس مکالی را تشریح خواهیم نمود که به منظور محاسبه تابع هیلبرت اسکیمهای صفر بعدی استفاده می شوند. فصل 3 به مفاهیمی همچون حلقه های چندمدرجی و فضاهای چندتصویری اختصاص دارد. در این فصل "ترفند چندتصویری-آفین-تصویری" را معرفی می کنیم که به ما امکان می دهد تا سوالات پیرامون ایده آل اسکیمها در فضاهای چندتصویری را به سوالات درباره ایده آلها در حلقه چندجمله ایهای استاندارد برگردانیم. فصل 4 به تبیین مفاهیم و خواص واریته های سگره و واریته های سگره-ورونزه می پردازد. در فصل 5، تعاریف بنیادی، قضایا و لمهای متعددی را در مورد واریته های قاطع بالاتر و بعد آنها ارائه خواهیم کرد. به علاوه چندین نتیجه مهم کلاسیک که توسط تراچینی به دست آمده است را یادآور می شویم. در فصل 6 روشهای گوناگونی که از سوی محققان بسیاری در دهه اخیر در جهت حل مساله بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگره عرضه شده است را به تفصیل شرح می دهیم. این روشها از این قرارند: 1. برخورداری از مفاهیم رتبه تانسوری و رتبه اساسی از جبر چندخطی و نظریه پیچیدگی جبری؛ 2. محاسبه تابع هیلبرت زیراسکیمهای صفر بعدی در فضاهای چندتصویری؛ 3. تکنیک مسطح سازی که برگرفته از ترکیبیات و آمار جبری است؛ 4. تعبیر ترکیبیاتی از بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگره به زبان مساله پوشش رخی؛ 5. استفاده از نتایج نظریه کدگذاری در ارتباط با کدهای کامل. در فصل 7، بر روی بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگرهp^1*...*p^1 متمرکز می شویم. با استفاده از روشی که در سال 2005 توسط جرامیتا، کاتالیزانو و جیمی لیانو ابداع شده است نشان خواهیم داد که این واریته ها دارای بعد منتظره هستند، به جز احتمالا در ازای یک مقدار مشخص s. این روش بدین صورت است: به کمک لم تراچینی مساله تعیین بعد این واریته های قاطع بالاتر را به محاسبه تابع هیلبرت یک مجموعه از نقاط عام دوگانه در p^1*...*p^1 (t-times) مبدل می کنیم. سپس با استفاده از ترفند چندتصویری-آفین-تصویری، نشان می دهیم که محاسبه اخیر هم ارز است با یافتن تابع هیلبرت زیراسکیمهای صفربعدی p^t. سرانجام "postulation" این اسکیمهای ویژه را به کمک "لم دیفرانسیل هوریس" که توسط هرشوویتس و الکساندر ابداع شده بررسی خواهیم کرد. هدف ما در فصل انتهایی این پایان نامه این است که بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگره p^n*...*p^n (t-times) را با الهام از روشی که در فصل 7 توضیح داده شد به دست آوریم. در گام نخست با استفاده از لم تراچینی مساله تعیین بعد واریته های قاطع بالاتر را به محاسبه تابع هیلبرت یک مجموعه از نقاط عام دوگانه در p^n*...*p^n برمی گردانیم. در ادامه با بهره مندی از ترفند چندتصویری-آفین-تصویری محاسبه اخیر را به مساله یافتن تابع هیلبرت یک اسکیم چندگانه بسیار ویژه از p^{nt} تقلیل می دهیم. در گام دوم روش "تقسیم کن و حل کن" را با به کار گیری پی در پی لم کاستلنوو و چند تکنیک هندسی دیگر به کار می بندیم. در واقع یک زیر اسکیم بخصوصی از p^{nt} را می سازیم و مقدار تابع هیلبرت آن را در درجه t ارزیابی می کنیم. نشان خواهیم داد که این اسکیم در درجه t دارای تابع هیلبرت منتظره است، به جز احتمالا در ازای n مقدار مشخص از s.